一、考试要求

　　理解距离空间、赋范空间和巴拿赫空间等概念，掌握巴拿赫空间的基本性质、 线性算子和线性泛函的基本知识，掌握开映射定理、闭图象定理、共鸣定理和哈 恩- 巴拿赫等定理，掌握希尔伯特空间的基本性质、希尔伯特空间正交化方法、投影定理及其应用。

　　理解误差的基本概念， 掌握非线性方程的数值解法， 线性方程组的直接法， 多项式插值方法，最佳逼近，数值积分与微分，线性与非线性方程组的迭代解法，常微分方程初值问题的数值解法。

　　理解微分方程、初始条件等基本概念， 掌握一阶微分方程的类型及解法，掌 握一阶微分方程解的存在与唯一性定理， 会用逐步逼近法求近似解，掌握求解高 阶微分方程的理论和方法， 掌握求解线性方程组的方法，会求解简单常系数的线性方程组。

　　二、考试内容

　　(一)泛函分析初步考试内容(30 分)

　　1. 距离空间：

　　(1) 距离空间的定义及例，距离空间中的收敛及其性质;

　　(2) 几类特殊的点集， 稠密性与可分性;同胚，等距;

　　(3) 完备距离空间;第一及第二类型的集;

　　(4) 准紧集，紧集，全有界集;紧集上的连续映射;

　　(5) 压缩映射，不动点定理及应用。

　　2. 巴拿赫空间与希尔伯特空间：

　　(1) 赋范线性空间， 巴拿赫空间;商空间;

　　(2) 内积空间，极化恒等式，希尔伯特空间;

　　(3) 正交与正交分解， 规范正交系;施密特正交化定理。

　　3. 巴拿赫空间上的有界线性算子：

　　(1) 有界线性算子的概念与性质，线性算子空间，算子的乘法;

　　(2) 开映射定理，逆算子定理，闭图像定理;

　　(3) 共鸣定理，傅里叶级数的发散问题;

　　(4) 有界线性泛函的延拓，哈恩- 巴拿赫定理;

　　(5) 对偶空间，自反空间，伴随算子;

　　(6) 有界线性算子谱的基本性质;紧算子，有限秩算子。

　　4. 希尔伯特空间上的有界线性算子：

　　(1) 希尔伯特空间上的有界线性算子，对偶空间，伴随算子;

　　(2) 自伴算子，正算子，单调自伴算子列。

　　(二)数值计算方法考试内容(35 分)

　　1.引论：

　　(1) 求绝对误差、相对误差与有效数字;

　　(2) 数值稳定性和数值稳定的算法;

　　(3) 掌握数值计算的几个原则，如尽量避免相近数相减等。

　　2.非线性方程的数值解法：

　　(1) 用二分法求解非线性方程的数值解;

　　(2) 构造求非线性方程的收敛的迭代方法;

　　(3) 用 Newton 迭代法求非线性方程的数值解。

　　3. 线性方程组的直接解法：

　　(1) 用 Gauss 消去法和选主元的 Gauss 消去法求解线性方程组;

　　(2) 求矩阵的 LU 分解和用平方根方法求线性方程组的解;

　　(3) 求向量的范数和矩阵的范数;

　　(4) 求方程组或矩阵的条件数、判断方程组的病态性。

　　4. 多项式插值：

　　(1) 求 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式;

　　(2) 解释 Runge 现象;

　　(3) 解释样条函数和三次样条插值函数。

　　5. 最佳逼近：

　　(1) 解释一致逼近和平方逼近多项式;

　　(2) 求线性方程组的最小二乘解;

　　(3) 求一些简单的可化为线性拟合的非线性拟合问题。

　　6. 数值积分与微分：

　　(1) 求数值积分公式的代数精度;

　　(2) 用 Newton-Cotes 公式计算数值积分;

　　(3) 用复化的求积公式计算数值积分并估计误差;

　　(4) 用基本的数值微分两点公式和三点公式计算。

　　7. 线性与非线性方程组的迭代解法：

　　(1) 用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求线性方程组的数值解;

　　(2) 判断一般线性方程组的迭代法的收敛性;

　　(3) 用 Newton 法求非线性方程组的数值解。

　　8. 常微分方程初值问题的数值解：

　　(1) 用向前和向后的 Euler 法求常微分方程的数值解;

　　(2) 用简单的 Runge-Kutta 公式计算常微分方程的数值解;

　　(3) 判断线性多步的预测-校正方法的阶。

　　(三)常微分方程考试内容(35 分)

　　1. 引论：

　　(1) 利用微分方程解决实际问题的建模方法;

　　2. 基本概念：

　　(1) 微分方程、阶、通解与特解、初始条件与初值问题、积分曲线。

　　3. 一阶微分方程的类型及解法：

　　(1) 掌握变量分离方程与变量变换法;

　　(2) 可化为变量分离方程的类型;

　　(3) 线性方程与常数变易法(含伯努利方程);

　　(4) 恰当方程与积分因子法;

　　(5) 一阶隐方程及参数表示。

　　4 .一阶微分方程的解的存在定理：

　　(1) 一阶微分方程解的存在与唯一性定理，会用逐步逼近法求近似解;

　　(2) 解的延拓;

　　(3) 解对初值的连续性和可微性定理。

　　5. 高阶微分方程：

　　(1) 高阶微分方程的一般理论;

　　(2) 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的性质与结构;

　　(3) 常系数线性微分方程的解法;

　　(4) 欧拉方程;

　　(5) 可降阶的微分方程。

　　6. 线性方程组：

　　(1) 线性微分方程与线性微分方程组之间的等价关系;

　　(2) 线性微分方程组的解的存在性定理;

　　(3) 简单常系数线性微分方程组。

　　三、参考书目

　　1.《实变函数与泛函分析基础》(第三版)，程其襄、张奠宙等，高等教育出版社，2010.

　　2.《数值计算方法》(第三版)，李维国、 聂立新，石油工业出版社，2019.

　　3.《常微分方程》 (第三版)，王高雄、周之铭等，高等教育出版社， 2006.

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